Fractals

Σχεδόν όλοι έχουμε θαυμάσει κάποιες εικόνες fractals από αυτές που κυκλοφορούν σε ημερολόγια, περιοδικά, τρισδιάστατα σχέδια κλπ. Η χρήση τους επεκτάθηκε από τη στιγμή που μπήκαν εδώ και είκοσι χρόνια στα computers αφού είναι σύνθετα σχέδια που δημιουργούνται με τη βοήθεια πολύπλοκων υπολογισμών. Αλλά, ενώ οι εικόνες είναι πολύπλοκες, το πρόγραμμα (software) που απαιτείται δεν είναι, αφού η σχεδίαση των εικόνων βασίζεται στην επανάληψη ενός μοτίβου, που σχεδιάζεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης. 

Πολλοί άνθρωποι τα βλέπουν δίχως να γνωρίζουν τι είναι αυτές οι φανταστικές έγχρωμες εικόνες και πως δημιουργούνται. Μερικοί έχουν ακούσει πως υπάρχει κάποια σύνδεσή τους με ορισμένα φυσικά αντικείμενα δίχως να πολυκαταλαβαίνουν ποια σύνδεση εννοείται.

Οι περισσότεροι από μας όταν ακούμε σχέδια ή σχήματα έχουμε στο μυαλό μας κάποια ευκλείδεια γεωμετρικά σχήματα. Αλλά τα fractals διαφέρουν από αυτά στα εξής:

1. Οι εικόνες αυτές είναι όμοιες προς εαυτόν. Έτσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγεθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ.

2. Οι fractal εικόνες είναι ανεξάρτητες από κλίμακα. Αντίθετα με τα ευκλείδεια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης.

Τα Fractals είναι μία τάξη πολύπλοκων γεωμετρικών μορφών που έχουν την ιδιότητα της αυτοομοιότητας. Τα Fractals διαφέρουν από τα απλά σχήματα της κλασικής ή ευκλείδειας γεωμετρίας - το τετράγωνο, τον κύκλο, τη σφαίρα κ.λπ.

Μπορεί να περιγράψουν πολλά αντικείμενα με ακανόνιστη μορφή ή χωρικά ανόμοια φαινόμενα στην φύση, τα οποία δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν με την ευκλείδεια γεωμετρία.

Ο όρος fractal πλάσθηκε από τον πολωνικής καταγωγής μαθηματικό Benoit Β. Μandelbrot από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος του οποίου οι διαστάσεις δεν περιγράφονται με ακέραιο αριθμό. Στα Ελληνικά αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη.

"Η προς εαυτόν ομοιότητα" και η "χαμηλή περιεκτικότητα πληροφοριών" είναι δύο βασικά χαρακτηριστικά των fractals.

Μολονότι όλα τα Fractals δεν έχουν την ιδιότητα της αυτοομοιότητας ή δεν την έχουν ακριβώς, τα περισσότερα την επιδεικνύουν.

Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν με το σύνολο. Αυτή η επανάληψη των ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και, στην περίπτωση καθαρά αφηρημένων οντοτήτων, είναι δυνατόν να συνεχίσουν απεριόριστα έτσι ώστε κάθε τμήμα ενός τμήματος, όταν μεγεθυνθεί, να μοιάζει βασικά με το συνολικό αντικείμενο.

Ουσιαστικά ένα αυτοόμοιο αντικείμενο παραμένει αναλλοίωτο σε αλλαγές κλίμακας, έχει δηλαδή συμμετρία κλίμακας. Αυτό το φαινόμενο μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί, στις νιφάδες τού χιονιού ή στον φλοιό των δένδρων.

Εφαρμογές fractals

Η γεωμετρία fractal με τις έννοιες της αυτοομοιότητας και της μη ακέραιης διάστασης έχει εφαρμοστεί με αυξανόμενη συχνότητα στην στατιστική μηχανική, σε φυσικά συστήματα που δείχνουν φαινομενικά τυχαία χαρακτηριστικά.

Για παράδειγμα έχουν γίνει προσομοιώσεις fractal για να σχεδιαστεί η κατανομή σμηνών γαλαξιών στο Σύμπαν και για να μελετηθούν προβλήματα που σχετίζονται με την διαταραχή ενός ρευστού. Η γεωμετρία fractal επίσης συνέβαλε πολύ στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή, όπου με αλγορίθμους fractal έχουν σχεδιαστεί σχήματα πολύπλοκων, εξαιρετικά ακανόνιστων φυσικών αντικειμένων, όπως είναι μορφολογικά ανώμαλα όρη και περίπλοκα συστήματα κλάδων δέντρων.